RealityModels
Menu

Glossario: universo matematico, informazione e regresso dei contenitori

Termini che ricorrono nelle discussioni sull'ipotesi dell'universo matematico di Tegmark, che fa da sfondo a tutte le simulazioni del progetto (vedi README.it.md), e nell'argomento del «regresso dei contenitori»: il nulla produce un bit, il bit richiede uno spazio che lo contenga, lo spazio richiede una teoria che lo descriva, e così via. La sezione 1 riassume l'argomento, le sezioni seguenti definiscono i termini raggruppati per area. I riferimenti tra parentesi quadre rimandano alla bibliografia in fondo. Versione inglese: mathematical-universe-glossary.en.md.

1. L'argomento in breve

  1. Il nulla produce un bit. Per essere nulla, il nulla deve escludere il qualcosa. Un'esclusione è una distinzione, e una distinzione è un bit. Il nulla puro è quindi logicamente instabile [Spencer-Brown 1969]. La teoria degli insiemi lo realizza alla lettera: dall'insieme vuoto si costruiscono 0, 1, 2 e tutta l'aritmetica (ordinali di von Neumann).
  2. Il bit richiede un contenitore. Un bit è una scelta tra due alternative, quindi lo spazio degli stati {0, 1} precede il valore. Il contenuto di una stringa è definito solo rispetto a una macchina che la legge (informazione algoritmica). La verità di un linguaggio si definisce solo in un metalinguaggio [Tarski 1933] e nessun sistema certifica sé stesso [Gödel 1931]. Ogni piano richiede il piano superiore.
  3. La torre. Valore → spazio degli stati → insiemistica → logica → ... Il regresso è vizioso solo se ogni piano deve essere prodotto prima del successivo, cioè se è un processo nel tempo. Se i piani coesistono fuori dal tempo, la torre è la gerarchia cumulativa V degli insiemisti, dove si lavora da un secolo senza che nulla si rompa.
  4. Le tre uscite. Nessun contenitore serve (Tegmark: le strutture non stanno in scatole, sono); chiudere il cerchio (Wheeler, Müller: i bit generano l'osservatore che dà senso ai bit); il regresso è reale e benigno (la realtà è aperta verso l'alto, «il tutto» non è un oggetto).
  5. L'obiezione a Tegmark. Se ogni struttura richiede una metastruttura, «l'insieme di tutte le strutture» è contraddittorio (Cantor, Russell) e la MUH non si chiude. La ritirata verso la CUH non ripara nulla: la computabilità non elimina l'interprete, lo nomina soltanto (la macchina universale), che è a sua volta una struttura.

2. Ipotesi sulla natura della realtà

MUH (Mathematical Universe Hypothesis, ipotesi dell'universo matematico). Tesi di Max Tegmark: la realtà fisica è una struttura matematica, non è solo descritta da una [Tegmark 2008, 2014]. Deriva dall'ERH (External Reality Hypothesis, esiste una realtà esterna indipendente dagli osservatori) con l'argomento che una descrizione completa e libera da «bagaglio» umano (parole, intuizioni) non può essere altro che una struttura matematica. Conseguenza: ogni struttura matematica esiste fisicamente allo stesso titolo della nostra.

CUH (Computable Universe Hypothesis, ipotesi dell'universo computabile). Restrizione della MUH proposta dallo stesso Tegmark [2008]: esistono fisicamente solo le strutture matematiche definite da relazioni computabili, cioè calcolabili da una macchina di Turing in un numero finito di passi. Serve a evitare le strutture indecidibili e i problemi legati a Gödel. Il prezzo: esclude il continuo e gran parte della fisica così com'è scritta, e sposta il problema sulla macchina che esegue il calcolo (vedi macchina universale).

Multiverso di livello IV. Il più alto dei quattro livelli di multiverso di Tegmark [2003]: I, regioni oltre l'orizzonte cosmico; II, altre bolle dell'inflazione con costanti diverse; III, i rami di Everett (vedi many-worlds-convergence-theory.it.md); IV, tutte le strutture matematiche. Il livello IV è la MUH presa come multiverso: il nostro universo è una struttura tra le altre.

Molti mondi interagenti (MIW). La proposta di Hall, Deckert e Wiseman [2014]: la meccanica quantistica come statistica di N mondi classici, ognuno con posizioni definite, che si respingono; la funzione d'onda è emergente e il collasso è la selezione del sottoinsieme di mondi compatibili con il registro. A differenza dei rami di Everett i mondi non si dividono né si fondono mai. Teoria e simulazione: many-interacting-worlds-theory.it.md.

Struttura matematica. Un insieme di elementi astratti con relazioni tra loro (per esempio: i numeri interi con l'addizione, un grafo, una varietà differenziabile). Due strutture con le stesse relazioni sono la stessa struttura, qualunque nome portino gli elementi. Nella MUH «essere contenuto in» è una relazione tra strutture, non la posizione di un oggetto in uno spazio.

Realismo strutturale. Posizione in filosofia della scienza per cui ciò che le teorie catturano della realtà è la struttura delle relazioni, non la natura intrinseca degli oggetti [Ladyman 1998]. Nella versione «ontica» le relazioni sono tutto ciò che c'è. La MUH ne è il caso limite.

Universo a blocco. Lo spaziotempo esiste tutto insieme, passato, presente e futuro, e lo scorrere del tempo non è una proprietà del mondo ma del punto di vista. Teoria e simulazioni: block-universe-relativity-theory.it.md. Nell'argomento del regresso il blocco conta perché, se i piani della torre coesistono fuori dal tempo come le fette di spaziotempo, il regresso non è un processo che deve «finire».

It from bit. Slogan di John A. Wheeler [1990]: ogni «it», ogni cosa fisica, deriva in ultima istanza da risposte sì/no a domande poste dagli osservatori, cioè da bit. Il mondo fisico è informazione prima che materia.

Circuito autoeccitato (self-excited circuit). Diagramma di Wheeler, una U con un occhio su un braccio che guarda l'altro: l'universo produce gli osservatori, gli osservatori con le loro misure danno realtà all'universo [Wheeler 1983]. Detto anche «universo partecipativo». È la seconda uscita dal regresso: non una torre ma un anello, in cui il contenitore dei bit è l'osservatore che emerge dai bit.

Legge senza legge (law without law). Espressione di Wheeler per un mondo in cui le leggi fisiche non sono date a priori ma emergono. Ripresa da Markus Müller [2020] in una teoria formale: ciò che è fondamentale sono gli stati dell'osservatore, e la probabilità del prossimo stato è data dalla probabilità algoritmica di Solomonoff; un mondo esterno regolare emerge come descrizione compatta. Chiude il cerchio senza presupporre uno spazio fisico esterno.

3. Informazione e calcolo

Bit. L'unità minima d'informazione: la risposta a una domanda con due esiti ugualmente possibili [Shannon 1948]. Un bit non è un simbolo isolato ma una scelta tra due alternative: senza l'insieme delle alternative non c'è bit. È il punto d'appoggio del passo 2 dell'argomento.

Spazio degli stati. L'insieme di tutte le configurazioni possibili di un sistema. Per un bit è {0, 1}; per n bit ha 2ⁿ elementi; per un sistema quantistico è uno spazio di Hilbert. Il valore di uno stato ha senso solo in rapporto allo spazio che lo contiene, che quindi gli è logicamente anteriore.

Informazione algoritmica (complessità di Kolmogorov). Il contenuto d'informazione di una stringa è la lunghezza del più corto programma che la produce su una macchina universale fissata [Solomonoff 1964; Kolmogorov 1965; Chaitin 1966]. Cambiando macchina la misura cambia al più di una costante additiva (teorema d'invarianza): la dipendenza dall'interprete è attenuata ma non eliminata, e per stringhe corte la costante domina.

Macchina universale (di Turing). Macchina che può simulare qualsiasi altra macchina di Turing leggendone la descrizione [Turing 1936]. È l'«interprete» che l'informazione algoritmica presuppone e che la CUH nomina senza eliminare: la macchina universale è a sua volta una struttura matematica, e la domanda «in cosa è contenuta?» riparte.

Computabile. Una funzione è computabile se esiste una macchina di Turing che la calcola per ogni input in un numero finito di passi. Una relazione è decidibile se la sua funzione caratteristica è computabile. La CUH chiede relazioni decidibili.

Interprete. Qualunque sistema che assegna un significato a una stringa di simboli: una macchina, un linguaggio formale, un osservatore. Nel regresso ogni piano fa da interprete per quello sotto.

4. Logica e teoria degli insiemi

Distinzione (Laws of Form). Per George Spencer-Brown [1969] l'atto primordiale è «traccia una distinzione»: separare un interno da un esterno. La sua notazione ha un solo simbolo, il marchio, che vale insieme come distinzione e come operatore. La prima distinzione possibile è nulla/non-nulla, ed è il contenuto del passo 1.

Insieme vuoto e ordinali di von Neumann. L'insieme senza elementi, ∅. Da esso si definiscono i numeri naturali per sola annidazione: 0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅, {∅}}, n + 1 = n ∪ {n} [von Neumann 1923]. Con gli assiomi di Zermelo-Fraenkel seguono interi, razionali, reali e tutta la matematica ordinaria. È il senso tecnico in cui «il nulla è l'unico mattone gratuito».

Medaglia di Leibniz. Nel 1697 Leibniz propose al duca Rodolfo Augusto di Brunswick una medaglia celebrativa dell'aritmetica binaria con il motto Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum, «per trarre tutto dal nulla basta l'uno» [Leibniz 1697]. Vedeva nello 0 e nell'1 un'immagine della creazione.

Principi di identità e di non contraddizione. Ogni cosa è identica a sé stessa; una proposizione e la sua negazione non sono entrambe vere. Sono l'assunzione nascosta del passo 1: perché il nulla «escluda» il qualcosa servono già queste regole, quindi il regresso comincia sotto il bit, non sopra.

Tartaruga di Carroll. Nel dialogo di Lewis Carroll [1895] la Tartaruga accetta le premesse «A» e «se A allora B» ma rifiuta di concludere B finché non si aggiunge la regola «se A e (se A allora B) allora B», e poi chiede la regola che giustifica quella, all'infinito. Mostra che una regola d'inferenza non può essere ridotta a una premessa: ogni regola richiede una metaregola.

Indefinibilità della verità (Tarski). In un linguaggio formale abbastanza ricco non esiste un predicato «è vero» che valga per tutte le sue frasi; la verità delle frasi di un linguaggio si definisce solo in un metalinguaggio più espressivo [Tarski 1933]. Ogni piano richiede il piano superiore.

Teoremi di incompletezza (Gödel). Primo: ogni sistema formale coerente che contenga l'aritmetica ha frasi vere che non dimostra. Secondo: un tale sistema non può dimostrare la propria coerenza [Gödel 1931]. Un sistema non certifica sé stesso; la certificazione, se c'è, viene da un sistema più forte.

Gerarchia cumulativa V. Costruzione per stadi di tutti gli insiemi: V₀ = ∅, V₍α+1₎ = insieme delle parti di Vα, e ai limiti l'unione di quanto fatto prima [Zermelo 1930]. Ogni stadio è un insieme contenuto nel successivo; la totalità V non è un insieme ma una classe propria. È la torre dei contenitori realizzata nella matematica corrente.

Classe propria. Collezione troppo grande per essere un insieme: la classe di tutti gli insiemi, di tutti gli ordinali, di tutte le strutture. Si può parlarne ma non trattarla come oggetto, altrimenti si cade nei paradossi.

Teorema di Cantor. Nessun insieme è in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle sue parti, che ha sempre cardinalità maggiore [Cantor 1891]. Conseguenza: non esiste un insieme di tutti gli insiemi, perché le sue parti sarebbero più numerose di lui.

Paradosso di Russell. L'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a sé stesso se e solo se non vi appartiene [Russell 1902]. Fece crollare la teoria ingenua degli insiemi e motivò gli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Insieme a Cantor, vieta che «la totalità di tutte le strutture» sia a sua volta una struttura.

Universo di Grothendieck. Un insieme U chiuso sotto le operazioni usuali (parti, unioni, coppie) in cui si può fare tutta la matematica ordinaria come se U fosse «tutto» [Grothendieck e altri 1972]. La sua esistenza equivale a quella di un cardinale fortemente inaccessibile. Ogni universo è contenuto in uno più grande: nessun piano è l'ultimo.

Grandi cardinali. Cardinali infiniti la cui esistenza non segue dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel e va postulata (inaccessibili, misurabili e altri) [Kanamori 2003]. Ogni assioma di grande cardinale alza la torre di un piano e ne dimostra la coerenza dal piano sotto. È il modo in cui i matematici abitano una gerarchia senza tetto.

5. Termini filosofici

Ex nihilo. «Dal nulla». La domanda di Leibniz «perché c'è qualcosa piuttosto che nulla?» [Leibniz 1714] è il punto di partenza dell'argomento; il passo 1 risponde che il nulla non è un'opzione stabile.

Regresso all'infinito. Catena di giustificazioni, cause o contenitori senza primo termine. È vizioso se l'esistenza o la giustificazione di ogni anello dipende dal completamento della catena, che non si completa mai; è benigno se gli anelli coesistono e nessuno attende gli altri. La distinzione decide se la torre dei contenitori è un problema o una descrizione.

Autoriferimento. Un sistema che si descrive, si contiene o si giustifica da sé. Compare in negativo nei paradossi (Russell) e nei limiti dei sistemi formali (Gödel, Tarski) e in positivo nell'uscita «ad anello» di Wheeler e Müller, dove deve spiegare perché l'anello si regge.

Metalinguaggio, metaregola, metastruttura. Il linguaggio in cui si parla di un linguaggio, la regola che governa l'uso di una regola, la struttura in cui una struttura è definita. Il prefisso «meta» indica il piano superiore della torre.

Fuori dal tempo. Esistere senza che l'esistenza sia un evento datato. La matematica è il caso tipico: 2 non è «venuto dopo» 1. È la condizione sotto cui il regresso smette di essere un processo e diventa una gerarchia.

Bibliografia

Universo matematico e multiverso

Informazione e osservatore

Logica e insiemi