Teoria: molti mondi interagenti

La simulazione many-interacting-worlds implementa la proposta di Hall, Deckert e Wiseman [2014]: la meccanica quantistica come statistica di N mondi classici che si respingono. Questo documento dà le equazioni con la notazione di js/model.js, elenca i risultati esatti su cui il simulatore si verifica e separa la teoria pubblicata dalle scelte di lavoro del simulatore. Uso e parametri: many-interacting-worlds-simulation-guide.it.md; versione inglese: many-interacting-worlds-theory.en.md.

1. Dalla funzione d'onda alle traiettorie

Madelung [1927] riscrisse l'equazione di Schrödinger come un fluido: con ψ = √ρ · exp(iS/ħ), la densità ρ e il campo di velocità v = ∇S/m obbediscono all'idrodinamica classica più un termine in più, il potenziale quantistico

Q = -(ħ²/2m) · (∂²√ρ/∂x²) / √ρ

Bohm [1952] lesse le stesse equazioni come meccanica: particelle puntiformi seguono traiettorie guidate da ψ, e ogni effetto quantistico entra tramite la forza -∂Q/∂x. In entrambe le letture la funzione d'onda resta un oggetto fondamentale.

L'approccio dei molti mondi interagenti (MIW) la elimina. Si prendono N mondi, ognuno una particella classica con posizione x[n] e velocità v[n] definite, e si approssima ρ con la densità empirica dei mondi stessi. Q diventa allora un potenziale tra mondi: ogni mondo sente i suoi vicini, e la forza che nella teoria di Bohm veniva da ψ ora viene da una repulsione tra mondi vicini. La funzione d'onda, se la si vuole ancora, è una descrizione emergente dell'insieme; nulla nella dinamica vi fa riferimento. Precursori con un continuo di traiettorie sono Poirier [2010] e Schiff e Poirier [2012]; la teoria a N finito con la sua forza giocattolo è Hall, Deckert e Wiseman [2014]; la lettura a "densità di mondi" è discussa da Sebens [2015] e Boström [2015].

2. Il modello in una dimensione

Unità ħ = m = 1. Gli N mondi mantengono un ordine fisso x[0] < x[1] < ... < x[N-1], con distanze g[n] = x[n+1] - x[n], inversi s[n] = 1/g[n] (s[-1] = s[N-1] = 0) e differenze D[n] = s[n] - s[n-1]. Il potenziale tra mondi usato da HDW e da model.js è

U = (1/8) · Σ_n D[n]²

che è la forma discreta della media di Q su mondi con pesi uguali. Il suo gradiente è esatto e locale (entrano solo le distanze adiacenti), quindi le forze costano O(N):

dU/dx[m] = (1/4) · ( D[m]·(s[m]² + s[m-1]²) - D[m+1]·s[m]² - D[m-1]·s[m-1]² )

con le D fuori intervallo poste a zero. Ogni mondo segue quindi l'equazione di Newton nel potenziale esterno V(x) = ω²x²/2 (ω = 0 per la particella libera) più questa repulsione:

a[m] = -dU/dx[m] - ω²·x[m]

La repulsione diverge come 1/g³ quando due mondi si avvicinano, quindi i mondi non si incrociano mai e l'ordinamento si conserva per sempre. Con N = 1 il potenziale U è identicamente nullo: un mondo solo è puramente classico. Il comportamento quantistico è una proprietà collettiva dell'insieme, non di un singolo mondo.

3. Risultati esatti a N finito

Sono teoremi del modello giocattolo, non approssimazioni a N grande, e il simulatore mostra ciascuno accanto al valore misurato.

Oscillatore stazionario. Una configurazione ferma è stazionaria quando dU/dx[m] = -ω²x[m] per ogni m, il che si riduce a D[n] = -2ω·x[n] e quindi alla ricorrenza s[n] = s[n-1] - 2ω·x[n] chiusa da s[N-1] = 0. groundState la risolve con uno shooting sul mondo più a sinistra. La configurazione soddisfa la regola di somma

Σ_n x[n]² = (N-1)/(2ω)

Energia di punto zero. L'energia di quella configurazione è esattamente

E = (N-1)·ω/2

che tende all'energia quantistica di stato fondamentale ω/2 per mondo al crescere di N, ed è zero per N = 1: l'energia di punto zero è l'energia immagazzinata nella repulsione.

Relazione di indeterminazione. Si definisce la dispersione di impulso dell'insieme come Δp² = Var(v) + 2U/N. Il secondo termine fa il ruolo della parte osmotica (quantistica) dell'impulso nella meccanica stocastica e in quella bohmiana: è la parte immagazzinata nell'interazione tra mondi. Per l'oscillatore stazionario il prodotto è esattamente

Δx·Δp = (1 - 1/N)·ħ/2

che si avvicina da sotto al limite di Heisenberg ħ/2 al crescere di N, e si annulla per N = 1 [Hall, Deckert e Wiseman 2014, eq. 22].

Allargamento libero. Spegnendo la trappola (ω = 0) a t = 0 dalla configurazione stazionaria si ha la soluzione esatta xn = xn·√(1+ω²t²), la stessa legge della larghezza del pacchetto gaussiano quantistico. La repulsione converte U in energia cinetica, esattamente come il pacchetto quantistico converte Q in allargamento.

Interferenza. Due pacchetti lanciati uno contro l'altro non si attraversano (i mondi non possono incrociarsi): la repulsione incanala i mondi in bande di densità alta e bassa alternate con spaziatura vicina a πħ/p, l'analogo delle frange del pattern di interferenza a due pacchetti. Questo risultato è numerico, non in forma chiusa, e riproduce il comportamento riportato da HDW.

4. Misura: il collasso come condizionamento

MIW non ha un postulato di collasso. Tutti gli N mondi sono ugualmente reali; un osservatore vive in uno di essi e vede la posizione definita di quel mondo. Una misura di posizione con risoluzione δ fa due cose:

• Regola di Born. L'esito registrato è la posizione del mondo che l'osservatore si trova ad abitare. Con mondi a pesi uguali questa è un'estrazione uniforme tra gli N, e poiché la densità dei mondi approssima

  |ψ|², la frequenza degli esiti vicino a x approssima |ψ(x)|²: la regola di Born è contare mondi.

• Condizionamento. Dopo il registro "la particella è entro δ da X", i mondi compatibili con il registro formano un sottoinsieme che continua a interagire. I mondi incompatibili non spariscono e non vengono fusi: il loro accoppiamento con quelli compatibili diventa irrilevante per l'osservatore, e nel simulatore ogni bin scartato evolve per conto suo da quel momento.

Quindi l'intuizione del "collasso come intersezione di realtà" vale in un senso preciso: lo stato dopo la misura è la selezione del sottoinsieme di mondi che concordano con il registro, e Δx collassa dalla larghezza dell'intero insieme ad al più δ. Non è mai una fusione: due mondi non diventano mai uno, e i mondi scartati continuano a esistere. Questo meccanismo è diverso dalla convergenza di rami esplorata nella simulazione many-worlds con convergenze, dove storie distinte si fondono in un nodo e le ampiezze si sommano: qui nulla si fonde e nulla interferisce alla misura, l'insieme viene solo diviso.

La strizzatura ha un costo: il condizionamento lascia i mondi tenuti impacchettati a distanze dell'ordine di δ con una grande energia di interazione U, che si riconverte subito in allargamento. È il calcio di Heisenberg di una misura di posizione netta, visibile nel simulatore come il bin tenuto che esplode verso l'esterno.

5. Cosa lascia fuori il modello giocattolo

• Il limite di N grande. Che la dinamica HDW converga all'equazione di Schrödinger per N che tende all'infinito è argomentato e verificato numericamente, ma una dimostrazione generale è aperta. N finito dà piccole deviazioni dalla meccanica quantistica, che HDW presentano come un tratto in linea di principio osservabile.
• Una particella in una dimensione. I sistemi entangled richiedono mondi che sono punti nello spazio delle configurazioni; gli argomenti di ordinamento e la semplice forza 1/g non si trasferiscono direttamente, e il MIW a più particelle interagenti è un problema di ricerca attivo [Hall, Deckert e Wiseman 2014, sez. VII; Herrmann et al. 2018 studiano schemi numerici].
• Pesi uguali. Il modello dà a ogni mondo lo stesso peso; pesi non uniformi cambierebbero sia il potenziale sia il conteggio della regola di Born.
• Spin e particelle identiche non hanno una formulazione MIW in questo modello giocattolo.
• La forza è una scelta tra tante. U è la discretizzazione più semplice del potenziale quantistico per mondi ordinati su una retta; esistono altre interazioni con lo stesso limite continuo che differiscono a N finito.

Bibliografia

Formulazioni idrodinamiche e a onda pilota

• Madelung, E. (1927). Quantentheorie in hydrodynamischer Form. Zeitschrift für Physik 40, 322-326.
• Bohm, D. (1952). A suggested interpretation of the quantum theory in terms of "hidden" variables, I e II. Physical Review 85(2), 166-179 e 180-193.
• Holland, P. R. (1993). The Quantum Theory of Motion. Cambridge University Press.

Insiemi di traiettorie senza funzione d'onda

• Poirier, B. (2010). Bohmian mechanics without pilot waves. Chemical Physics 370(1-3), 4-14.
• Schiff, J., Poirier, B. (2012). Quantum mechanics without wavefunctions. Journal of Chemical Physics 136, 031102.

Molti mondi interagenti

• Hall, M. J. W., Deckert, D.-A., Wiseman, H. M. (2014). Quantum phenomena modelled by interactions between many classical worlds. Physical Review X 4,
  1. arXiv:1402.6144.
• Sebens, C. T. (2015). Quantum mechanics as classical physics. Philosophy of Science 82(2), 266-291. arXiv:1403.0014.
• Boström, K. J. (2015). Quantum mechanics as a deterministic theory of a continuum of worlds. Quantum Studies: Mathematics and Foundations 2, 315-347. arXiv:1410.5653.
• Herrmann, H., Hall, M. J. W., Wiseman, H. M., Deckert, D.-A. (2018). Ground states in the many interacting worlds approach. arXiv:1712.01918.