Teoria: molti mondi, albero e convergenze

La simulazione many-worlds mette a confronto tre ipotesi: i regimi «Albero», «Convergenza classica» e «Convergenza quantistica». Qui sono descritte con le notazioni di js/model.js e, per ognuna, si separa la teoria pubblicata dalle ipotesi di lavoro del simulatore. I riferimenti tra parentesi quadre rimandano alla bibliografia in fondo. Uso e parametri: many-worlds-simulation-guide.it.md; versione inglese: many-worlds-convergence-theory.en.md.

1. Il punto di partenza: la misura quantistica

Uno stato quantistico evolve in modo deterministico e lineare (equazione di Schrödinger). Se si misura un'osservabile con N esiti possibili, la regola di Born dà all'esito c la probabilità |a_c|², dove a_c è l'ampiezza della componente c [Born 1926]. Nella formulazione standard la misura è un secondo tipo di evoluzione, discontinua: lo stato «collassa» sulla componente osservata [von Neumann 1932]. Le tre ipotesi simulate rispondono in modo diverso alla domanda «che fine fanno le altre N−1 componenti?».

Il simulatore riduce tutto al minimo. A ogni passo t ripete la stessa misura con N esiti equiprobabili (c = 0, …, N−1), e un mondo porta con sé solo il suo record k = Σ c, la somma degli esiti. Il grafico mostra il record centrato, x = 2k − (N−1)·t, così la distribuzione parte da x = 0 e resta simmetrica.

2. Regime «Albero»: l'interpretazione a molti mondi

2.1 La teoria

Everett [1957] propose di eliminare il collasso. La funzione d'onda universale non si riduce mai e dopo una misura anche l'osservatore è in sovrapposizione, con una copia per esito. Ogni copia ha una memoria («relative state») coerente con il proprio esito e non può accorgersi delle altre. Il nome «many worlds» e la diffusione dell'idea si devono a DeWitt [1970; DeWitt e Graham 1973].

I rami diventano indipendenti per decoerenza. L'interazione con l'ambiente (fotoni, gas, apparati) lega ogni esito a stati dell'ambiente quasi ortogonali, e in tempi brevissimi i termini d'interferenza tra rami diventano inosservabili [Zeh 1970; Zurek 1991, 2003; Joos e altri 2003]. Nella versione moderna dell'interpretazione i «mondi» sono strutture emergenti nella funzione d'onda, individuate dalla decoerenza, e non vanno postulati [Wallace 2012; Saunders e altri 2010; Vaidman 2021].

2.2 Il modello nel simulatore

Il regime «Albero» si limita a contare. Ogni misura moltiplica i mondi per N, e dopo t misure ci sono

treeWorlds = N^t

mondi distinti, ciascuno di peso (modulo quadro dell'ampiezza) N^(−t) e identificato dalla sequenza di esiti (le cifre in base N dell'indice del nodo). Il colore dei nodi e l'istogramma in basso mostrano come i mondi si distribuiscono sul record k: la frazione con record k è il coefficiente multinomiale diviso N^t, cioè la probabilità classica del regime successivo. Passando il puntatore su un mondo si evidenziano quelli con lo stesso record, che nell'albero restano distinti anche se il loro «contenuto» è identico.

Il limite di 4096 nodi (T ≤ 12 per N = 2) è solo grafico.

3. Regime «Convergenza classica»: i mondi con lo stesso record sono lo stesso mondo

3.1 L'ipotesi

Il simulatore esplora l'ipotesi che la struttura non sia un albero. Due rami che arrivano nello stesso stato (qui: stesso record k allo stesso passo t) sono un solo mondo. Il grafo dei mondi diventa un reticolo con

distinct = (N−1)·t + 1

nodi al passo t invece di N^t: crescita lineare, non esponenziale.

L'idea non fa parte dell'interpretazione a molti mondi standard, ma tocca la letteratura in più punti:

• Everett individuava i rami con le sequenze di memoria dell'osservatore [Everett 1957, §5]. Se l'osservatore registra solo il totale, due storie con lo stesso totale hanno la stessa memoria.
• Nel formalismo delle storie consistenti [Griffiths 1984; Omnès 1992; Gell-Mann e Hartle 1990] una storia è una sequenza di proiettori. Scegliendo un «grano grosso» (coarse graining) che distingue solo il record, le storie con lo stesso record diventano la stessa storia a grana grossa. La condizione che permette di dare a queste storie probabilità classiche (decoerenza delle storie) è proprio ciò che separa questo regime dal successivo.
• Nell'interpretazione a molti mondi moderna, rami con lo stesso record macroscopico e ambiente diverso restano distinti, perché a separarli è lo stato dell'ambiente e non la memoria dell'osservatore [Wallace 2012, cap. 3]. Il regime classico equivale quindi a supporre che il record sia l'unica informazione che sopravvive.

3.2 Il modello nel simulatore

Se le probabilità dei rami che convergono si sommano senza interferenza, il record fa un cammino aleatorio classico [Feller 1968, cap. III]: a ogni passo si aggiunge un c uniforme in {0, …, N−1}. Il numero di sequenze di esiti che arrivano al nodo k (paths) segue la ricorrenza

paths_{t+1}(k + c) += paths_t(k)        per c = 0, …, N−1

(per N = 2 è il triangolo di Pascal e il reticolo è la tavola di Galton), e

pClassical(k, t) = paths_t(k) / N^t
flowClassical[c] = pClassical / N

c ha media (N−1)/2 e varianza (N²−1)/12, quindi x = 2k − (N−1)·t ha media 0 e deviazione standard

sigmaClassical = sqrt( t · (N²−1) / 3 )

cioè σ = √t per N = 2. La distribuzione si allarga come la radice del tempo (diffusione) e per il teorema del limite centrale tende a una gaussiana. Anche il numero efficace di mondi 1/Σp² (effectiveClassical) cresce come √t.

4. Regime «Convergenza quantistica»: le ampiezze dei rami convergenti si sommano

4.1 La teoria

Se due rami si riuniscono davvero nello stesso stato, la meccanica quantistica non ne somma le probabilità. Si sommano le ampiezze, e la probabilità è il modulo quadro della somma. È il principio di sovrapposizione nella forma della somma sui cammini di Feynman [Feynman 1948; Feynman e Hibbs 1965]: l'ampiezza di arrivare in un punto è la somma delle ampiezze di tutte le storie che ci arrivano, e storie diverse interferiscono. Con la decoerenza l'interferenza sparisce e si torna al regime classico; senza decoerenza i rami possono cancellarsi o rinforzarsi.

L'interpretazione a molti mondi ha discusso esplicitamente la possibilità di far interferire di nuovo rami «già separati» di una misura. Deutsch [1985] propose un esperimento ideale: un osservatore (un calcolatore quantistico) compie una misura, ne registra l'esito e poi viene fatto interferire con sé stesso, il che mostra una differenza osservabile tra collasso e assenza di collasso. Hanson [2003] studiò invece cosa succede alla regola di Born se i mondi di piccola ampiezza vengono «maciullati» (mangled) dall'interferenza con mondi più grandi. In entrambi i casi la convergenza dei rami è una possibilità teorica e non descrive la dinamica ordinaria degli oggetti macroscopici.

4.2 Il modello nel simulatore: cammino quantistico a moneta

Per propagare un'ampiezza su un reticolo in modo unitario si usa di solito il cammino quantistico a moneta (coined quantum walk) [Aharonov, Davidovich e Zagury 1993; Meyer 1996; Ambainis e altri 2001; Nayak e Vishwanath 2000; Kempe 2003; Venegas-Andraca 2012]. Sommare direttamente le ampiezze dei rami che convergono non basta, perché la mappa risultante non conserva la norma. A ogni nodo si aggiunge allora un grado di libertà interno con N componenti, la «moneta», che qui coincide con l'esito dell'ultima misura.

Lo stato al passo t è l'insieme delle ampiezze complesse ψ_t(k, c). Un passo è fatto così:

1. moneta: in ogni nodo si applica la matrice unitaria U, qui la trasformata di Fourier discreta (funzione dftCoin)

   U[c][d] = exp(2πi · c · d / N) / sqrt(N)

   che per N = 2 è la matrice di Hadamard; la moneta DFT è la scelta usuale per monete a N > 2 facce [Mackay e altri 2002; Tregenna e altri 2003];

2. spostamento: la componente c si sposta al nodo k + c:

   ψ_{t+1}(k + c, c) = Σ_d U[c][d] · ψ_t(k, d)

Lo stato iniziale è ψ_0(0, 0) = 1. Le letture sono

pQuantum(k, t)  = Σ_c |ψ_t(k, c)|²
flowQuantum[c]  = |(U ψ_t(k, ·))_c|²       (probabilità che esce lungo l'esito c)

I rami che convergono in un nodo arrivano in componenti diverse della moneta e si incontrano nella moneta del passo successivo: lì le ampiezze si sommano e interferiscono. La somma delle probabilità resta 1 a ogni passo. Nel grafico i nodi con pQuantum < 10⁻⁹ sono vuoti e gli archi con flowQuantum < 10⁻⁹ tratteggiati: sono i rami cancellati dall'interferenza (suppressedNodes, suppressedEdges).

Per N = 2 il modello è il cammino di Hadamard, di cui si conoscono i valori esatti: al passo 3, sui record x = −3, −1, 1, 3, le probabilità sono 1/8, 5/8, 1/8, 1/8 [Kempe 2003, §3]. La distribuzione è asimmetrica perché lo stato iniziale |0⟩ della moneta non è simmetrico, una proprietà nota del cammino. Il cammino di Hadamard con stato iniziale localizzato coincide anche con la «scacchiera di Feynman», la discretizzazione dell'equazione di Dirac in 1+1 dimensioni [Feynman e Hibbs 1965, problema 2-6; Meyer 1996].

4.3 La differenza osservabile: allargamento balistico

Il risultato principale della teoria dei cammini quantistici è che la deviazione standard cresce linearmente con t (propagazione balistica), mentre nel cammino classico cresce come √t [Nayak e Vishwanath 2000; Ambainis e altri 2001]. Il teorema del limite di Konno [2002] dà la forma della distribuzione: due picchi sul fronte, non gaussiana. Nel simulatore sigmaQuantum cresce come ≈ 0,46·t per N = 2, e effectiveQuantum (numero efficace di mondi) cresce linearmente invece che come √t. Valori calcolati da buildLattice e statistics:

(seme 1; per N = 2 e D = 0 il numero efficace quantistico è vicino a quello classico perché la distribuzione di Hadamard concentra molta probabilità sui due picchi).

5. Il disordine di fase: dal quantistico al classico

Il parametro D ∈ [0, 1] moltiplica le ampiezze di ogni nodo, prima della moneta, per una fase casuale e^{iφ} con |φ| ≤ π·D, estratta a ogni passo da un generatore con seme (seededRandom). L'evoluzione resta unitaria, ma i rami che convergono arrivano con fasi relative casuali. È un modello minimo di decoerenza: l'ambiente «segna» ogni ramo con una fase che l'altro ramo non conosce.

La letteratura sui cammini quantistici distingue due casi:

• disordine statico (fasi fisse nel tempo, diverse per nodo): produce la localizzazione di Anderson [Anderson 1958] e la distribuzione resta confinata vicino all'origine;
• disordine dinamico (fasi nuove a ogni passo, come qui): distrugge l'interferenza e riporta la propagazione al regime diffusivo σ ∝ √t del cammino classico [Brun, Carteret e Ambainis 2003; Kendon e Tregenna 2003]. Schreiber e altri [2011] hanno osservato entrambi i comportamenti con fotoni.

Il simulatore usa il disordine dinamico. Per D → 1 sigmaQuantum torna a crescere come √t (≈ 0,93·√t per N = 2, contro √t del regime classico), i nodi vuoti e gli archi tratteggiati cambiano con il seme e l'istogramma si avvicina al contorno classico. D interpola quindi tra il regime 4 (D = 0) e una versione «rumorosa» del regime 3. È la stessa transizione con cui, nell'interpretazione a molti mondi, la decoerenza rende i rami di fatto indipendenti [Zurek 2003].

6. Che cosa il modello non dice

• Le misure sono tutte uguali ed equiprobabili e l'unico stato è il record k: il modello non descrive alcun sistema fisico particolare.
• «Stesso record = stesso mondo» è l'ipotesi da esplorare. Nell'interpretazione standard i rami restano distinti per via dell'ambiente (§3.1).
• La moneta è una scelta del modello, necessaria all'unitarietà. Monete diverse (ad esempio quella di Grover per N ≥ 3) danno distribuzioni diverse [Tregenna e altri 2003].
• La vista ad albero conta i mondi e non simula nulla: ogni nodo pesa N^(−t), senza ampiezze.

Riferimenti bibliografici

Interpretazione a molti mondi e decoerenza

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• Joos, E., Zeh, H. D., Kiefer, C., Giulini, D., Kupsch, J., Stamatescu, I.-O. (2003). Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory, 2ª ed. Springer.

Storie consistenti e grana grossa

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Misura, regola di Born, somma sui cammini

• Born, M. (1926). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. Zeitschrift für Physik 37, 863–867.
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Cammino aleatorio classico

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Disordine, decoerenza e localizzazione nei cammini quantistici

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• Schreiber, A., Cassemiro, K. N., Potoček, V., Gábris, A., Jex, I., Silberhorn, C. (2011). Decoherence and disorder in quantum walks: from ballistic spread to localization. Physical Review Letters 106, 180403.