Teoria: universo blocco, contrazione delle lunghezze e dilatazione del tempo

La geometria disegnata dalle simulazioni di relatività, con le stesse notazioni del codice in js/physics.js. Le sezioni 1–8 valgono per length-contraction e time-dilation. La sezione 9 riguarda gli orologi, presenti da time-dilation in poi. La sezione 10 riguarda il corpo che accelera di accelerated-motion, che ha un physics.js diverso. Uso, parametri e verifiche sono in block-universe-simulations-guide.it.md; versione inglese: block-universe-relativity-theory.en.md.

1. Universo blocco in 2+1 dimensioni

Nell'universo blocco lo spaziotempo è un oggetto geometrico dato una volta per tutte: passato, presente e futuro esistono allo stesso modo. Un corpo non «si muove», occupa una regione dello spaziotempo, il suo tubo di universo. Il moto è la pendenza del tubo rispetto all'asse del tempo.

Quattro dimensioni non si possono disegnare, quindi il simulatore usa due dimensioni di spazio (x, y) e una di tempo (t, verticale). Il moto è lungo x; y dà spessore ai corpi e mostra che le direzioni trasversali non cambiano.

2. Coordinate e trasformazioni di Lorentz

Unità naturali con c = 1: il cono di luce ha pendenza 45° nel piano x–t.

• Sistema del corpo fermo («laboratorio»): coordinate (x, y, t).
• Sistema del corpo in moto a velocità β = v/c lungo x: coordinate (x′, y′, t′), nel codice x1, t1.
• γ = 1 / √(1 − β²) (funzione gamma).

Trasformazioni (funzioni lorentzToMoving e lorentzToLab):

x′ = γ (x − β t)        t′ = γ (t − β x)
x  = γ (x′ + β t′)      t  = γ (t′ + β x′)
y′ = y

L'origine del sistema in moto è l'evento (x₀, 0) del laboratorio, cioè il parametro x0 di tutte le funzioni.

3. Costruzione dei tubi di universo

Corpo fermo (stationaryTube): occupa x ∈ [xs, xs + L₀], y ∈ [−W/2, W/2] a ogni t. Il tubo è un prisma verticale.

Corpo in moto (movingTube): nel proprio sistema di quiete occupa x′ ∈ [0, L₀]. Le facce laterali sono le linee di universo dei due estremi, x′ = 0 e x′ = L₀. Il codice non usa formule di contrazione: per ogni estremo x′ e per ogni istante t del laboratorio risolve

t = γ (t′ + β x′)   ⇒   t′ = t/γ − β x′

e trasforma l'evento (x′, t′) nel laboratorio (worldlineAtLabTime). Il risultato è una retta di pendenza β nel piano x–t, quindi il tubo è inclinato di atan(β) rispetto all'asse t.

4. Perché la sezione t = costante è lunga L₀/γ

Il piano «adesso» del corpo fermo è t = costante. Tagliando il tubo inclinato con questo piano (sliceAtLabTime) si ottengono gli estremi

x(x′=0)  = x₀ + β t
x(x′=L₀) = x₀ + β t + L₀/γ

La seconda si ricava sostituendo t′ = t/γ − β L₀ nella trasformazione: x = x₀ + γ (L₀ + β t/γ − β² L₀) = x₀ + β t + γ L₀ (1 − β²) = x₀ + β t + L₀/γ.

La sezione è lunga L₀/γ: è la contrazione delle lunghezze. Sul corpo non agisce nulla; il corpo fermo taglia il tubo inclinato con un piano diverso da quello di simultaneità del corpo in moto.

5. Perché la sezione t′ = costante è lunga L₀

Il piano «adesso» del corpo in moto è t′ = τ. Nel laboratorio è il piano inclinato (movingNowPlane)

t = β (x − x₀) + τ/γ

Tagliando il tubo in moto con questo piano (movingSliceAtMovingTime) gli estremi sono le immagini di (x′=0, t′=τ) e (x′=L₀, t′=τ). La separazione (Δx, Δt) = (γL₀, γβL₀) ha lunghezza di Minkowski

√(Δx² − Δt²) = γ L₀ √(1 − β²) = L₀

cioè la lunghezza propria: il corpo misura sé stesso lungo L₀.

6. Reciprocità

Lo stesso piano t′ = τ taglia anche il tubo verticale del corpo fermo (stationarySliceAtMovingTime). Gli estremi sono (xs, t(xs)) e (xs + L₀, t(xs + L₀)), con Δx = L₀ e Δt = β L₀, da cui

√(L₀² − β² L₀²) = L₀/γ

Il corpo in moto vede il corpo fermo contratto dello stesso fattore. Attivando «Mostra anche l'adesso del corpo in moto» si vedono entrambe le sezioni quotate: L₀ (propria) sul tubo in moto e L₀/γ sul tubo fermo.

7. Avvertenza: righello dello schermo e metrica di Minkowski

Il disegno è euclideo, lo spaziotempo no. Sui piani inclinati un segmento con componenti (Δx, Δt) appare sullo schermo lungo √(Δx² + Δt²), ma la lunghezza fisica è √(Δx² − Δt²). Per i segmenti sul piano t′ = costante la tabella «Letture» riporta entrambi i valori (riga «lunghezza euclidea nel disegno»). Sul piano t = costante le due misure coincidono perché Δt = 0.

Per lo stesso motivo il tubo inclinato, misurato con il righello dello schermo perpendicolarmente alle facce, sembra più «largo» di quello verticale. È un artefatto della proiezione euclidea.

8. Come usare la pagina

Valori di esempio con β = 0,6:

Con β = 0,8: γ = 1,667 e L₀/γ = 0,600.

• Vista laterale x–t: il diagramma di Minkowski. La sezione orizzontale del tubo inclinato è più corta di quella del tubo verticale.
• Vista dall'alto x–y: solo le due sezioni sul piano t = costante, con la stessa larghezza W e lunghezze L₀ e L₀/γ.
• Vista 3D: trascinare per ruotare, rotellina per lo zoom, tasto destro per spostare.
• Cono di luce: le linee di universo del corpo in moto restano dentro il cono (pendenza β < 1).

Il cursore del piano t′ va da 0 a t_max/γ, quindi dipende da β: sono i valori per cui lo spigolo posteriore del corpo in moto resta nella finestra disegnata. I tubi sono infiniti; il disegno li allunga quanto basta per contenere le sezioni inclinate.

9. Dilatazione del tempo: orologi e tacche (time-dilation)

La dilatazione del tempo è geometria come la contrazione: la contrazione è la lunghezza di Minkowski attraverso il tubo, la dilatazione quella lungo il tubo. Il tempo proprio di un corpo tra due eventi della sua linea di universo è

Δτ = √(Δt² − Δx²)

Per il corpo fermo Δx = 0 e Δτ = Δt. Per il corpo in moto, tra t = 0 e t = T, Δx = βT e Δτ = T √(1 − β²) = T/γ.

Tacche degli orologi

Ogni corpo porta un orologio sincronizzato nel proprio sistema. Su ciascun tubo il simulatore disegna una sezione per ogni unità di tempo proprio:

• sul tubo fermo (stationaryTicks) i piani orizzontali t = 0, 1, 2, 3, 4;
• sul tubo in moto (movingTicks) i piani t′ = 0, 1, 2…, cioè le sezioni inclinate di movingSliceAtMovingTime con τ intero. Lo spigolo posteriore (x′ = 0) della tacca t′ = n cade nel laboratorio a t = γn.

A parità di altezza del blocco il tubo fermo contiene t_max tacche e quello in moto t_max/γ: con β = 0,8 e t_max = 4 sono 4 contro 2,4 (riga «tempo proprio lungo tutto il blocco» della tabella). Si disegnano solo le tacche contenute per intero nel tubo, quindi con β = 0,8 si vedono t′ = 0 e t′ = 1. La tacca inclinata sembra più lunga sullo schermo ma vale una sola unità (vedi sezione 7).

Letture degli orologi sulle sezioni

Sul piano t = t_now il corpo fermo segna t_now a entrambi gli estremi. Gli orologi del corpo in moto (movingClocksAtLabTime) segnano t′ = γ (t − β (x − x₀)). Sostituendo le posizioni degli estremi della sezione (sezione 4):

coda  (x′ = 0):   t′ = t_now / γ
testa (x′ = L₀):  t′ = t_now / γ − β L₀

La coda mostra la dilatazione (t′/t = 1/γ). La differenza βL₀ tra coda e testa è la relatività della simultaneità: eventi simultanei per il corpo fermo non lo sono per quello in moto, quindi il tempo non è lo stesso nemmeno dentro un singolo rettangolo.

Sul piano t′ = τ succede il contrario (reciprocità): il corpo in moto segna τ a entrambi gli estremi, gli orologi del corpo fermo segnano i tempi t degli estremi della sezione di stationarySliceAtMovingTime,

t = β (x − x₀) + τ / γ      per x = xs e x = xs + L₀

Un orologio fermo in x = x₀ segnerebbe esattamente τ/γ: ciascun corpo vede l'orologio dell'altro rallentato dello stesso fattore. Valori con β = 0,8, L₀ = 1, t_now = 2 e τ = 1,2:

Nella vista dall'alto le tacche sono nascoste: tutte le quote t si proiettano sullo stesso piano e le sezioni si sovrapporrebbero.

10. Corpo che accelera: moto iperbolico (accelerated-motion)

In accelerated-motion il corpo in moto parte da fermo in x₀, accelera, frena e si ferma in x₀ + X. I parametri non sono più la velocità ma l'accelerazione propria a della coda e la distanza X. Tutte le grandezze del viaggio vengono da trip({a, X, L0, x0}).

Moto iperbolico e rigidità di Born

Un punto con accelerazione propria costante α traccia nel piano x–t un'iperbole di «raggio» ρ = 1/α centrata in un evento (x_c, 0):

x(t) = x_c + √(ρ² + t²)        β(t) = t / √(ρ² + t²)        τ(t) = ρ · asinh(t/ρ)

Se tutti i punti di un corpo esteso avessero la stessa accelerazione, il corpo resterebbe lungo L₀ nel laboratorio e quindi si allungherebbe nel proprio sistema. Il corpo è invece rigido nel senso di Born: il punto a distanza propria ξ dalla coda segue l'iperbole con lo stesso centro e raggio ρ_R + ξ, dove

ρ_R = 1/a            (coda)
ρ_F = 1/a + L₀       (testa, accelerazione propria 1/ρ_F < a)
ρ_C = 1/a + L₀/2     (punto di mezzo)
x_c = x₀ − 1/a

(worldlineAtLabTime, speedAtLabTime, properTimeAtLabTime). Le iperboli hanno tutte lo stesso centro, quindi ogni retta per (x_c, 0) è una linea di simultaneità per tutti i punti del corpo. Il piano «adesso» del corpo è la retta per il centro con pendenza tanh η, dove η è la rapidità (movingNowPlane). Su questo piano la sezione del tubo ha lunghezza di Minkowski esattamente L₀ (movingSliceAtMovingTime), senza imporre formule di contrazione.

Spinta e frenata

Il viaggio è simmetrico: la frenata è la spinta riflessa rispetto all'evento di mezzo Q = (x₀ + L₀/2 + X/2, T/2). Imponendo che il punto di mezzo arrivi a metà strada si ottiene la rapidità massima, e da questa durata e velocità massima:

sinh η_max = √(ρ_C X + X²/4) / ρ_C
T          = 2 ρ_C sinh η_max           (durata nel laboratorio)
β_max      = tanh η_max                 (a metà strada)

In frenata i ruoli si scambiano: la coda decelera con 1/ρ_F e la testa con a, perché la riflessione porta l'iperbole di raggio ρ_R + ξ in quella di raggio ρ_F − ξ, centrata in (2x_Q − x_c, T). Il punto ξ cambia fase all'istante t = (ρ_R + ξ) sinh η_max, diverso per ogni punto: nel laboratorio la testa comincia a frenare dopo la coda.

Tempo proprio e orologi

Durante la spinta l'orologio del punto ξ segna τ = (ρ_R + ξ) η, quindi sul piano di simultaneità del corpo la testa è avanti rispetto alla coda di un fattore ρ_F/ρ_R. In frenata i fattori si invertono e all'arrivo i due orologi segnano lo stesso valore, uguale per ogni punto del corpo:

τ_tot = (ρ_R + ρ_F) η_max = 2 ρ_C η_max

Il cursore τ della pagina è il tempo proprio della coda. Prima della partenza e dopo l'arrivo i piani sono orizzontali e τ cresce come t. Le tacche (movingTicks) sono le sezioni con τ intero: sempre più inclinate durante la spinta, sempre meno durante la frenata.

Sul piano t = costante la sezione del tubo curvo (sliceAtLabTime) non vale L₀/γ, perché coda e testa hanno velocità diverse nello stesso istante del laboratorio. La tabella «Letture» mostra la lunghezza misurata accanto ai due valori L₀/γ di confronto.

Valori di esempio

Con a = 1, X = 3, L₀ = 1 (x₀ = −1):

La verifica da Node è in block-universe-simulations-guide.it.md.